جزوه فرایندهای تصادفی
کاردانی کارشناسی ارشد رشته آمار دکتر نا کاردانی به کارشناسی اصفهانی پارسه دانشگاه شریف عین الله پاشا پاپولیس شلدون راس مدرسان شریف رشته آمار رشته
[4] [5] [1] ً {}[1] [5] [49] [50] ≤ ≤ [55] [56] {}-{}- {}-
“” “” [61] “” [62] [63][61] [64] [65] ً “” ()». “” ً “” “” [68] [69] [70] ً “”، [29] [71] “” [4] [74] “”، “” [29] “” [31] [5] [75] [76] [29] [74] [5] [77] ً {}{{} ^{}}{} ^{}
: [81] () ً {}{-}-{}[82] : ً [90] [91] به عنوان فضای حالت است و بر اساس فرآیند برنولی است که در آن هر متغیر برنولی یا مقدار مثبت یک یا یک را می گیرد. یک منفی به عبارت دیگر، پیاده روی تصادفی ساده روی اعداد صحیح انجام می شود و مقدار آن با احتمال یک افزایش می یابد، مثلاً{displaystyle p}پ، یا با احتمال یک عدد کاهش می یابد{displaystyle 1-p}1-p، بنابراین مجموعه شاخص این پیاده روی تصادفی اعداد طبیعی است، در حالی که فضای حالت آن اعداد صحیح است. اگر{displaystyle p=0.5}p=0.5، این پیاده روی تصادفی را یک پیاده روی تصادفی متقارن می نامند.
فرآیند وینر
مقاله اصلی: فرآیند وینر
فرآیند وینر یک فرآیند تصادفی با افزایشهای ثابت و مستقل است که معمولاً بر اساس اندازه افزایشها توزیع میشوند. [2] [95] فرآیند وینر به نام نوربرت وینر نامگذاری شده است که وجود ریاضی آن را اثبات کرد، اما این فرآیند به دلیل ارتباط تاریخی آن به عنوان مدلی برای حرکت براونی در مایعات ، فرآیند حرکت براونی یا فقط حرکت براونی نامیده میشود .
تحقق فرآیندهای وینر (یا فرآیندهای حرکت براونی) با رانش ( آبی ) و بدون رانش ( قرمز ).
فرآیند وینر با ایفای نقش مرکزی در تئوری احتمال، اغلب مهمترین و مورد مطالعه ترین فرآیند تصادفی با ارتباط با سایر فرآیندهای تصادفی در نظر گرفته می شود. مجموعه شاخص و فضای حالت آن به ترتیب اعداد غیر منفی و اعداد حقیقی هستند، بنابراین هم مجموعه شاخص پیوسته و هم فضای حالت ها دارد. [103] اما فرآیند را می توان به طور کلی تری تعریف کرد تا فضای حالت آن را بتوان تعریف کرد{displaystyle n}nفضای اقلیدسی بعدی اگر میانگین هر افزایشی صفر باشد، گفته میشود که فرآیند حرکت وینر یا براونی حاصله دارای رانش صفر است. اگر میانگین افزایش برای هر دو نقطه در زمان برابر باشد با اختلاف زمانی ضرب در مقداری ثابت{displaystyle mu }mu، که یک عدد واقعی است، می گویند فرآیند تصادفی حاصل دارای رانش است
تقریباً مطمئناً ، یک مسیر نمونه از فرآیند وینر در همه جا پیوسته است اما هیچ جا قابل تمایز نیست . می توان آن را نسخه ای پیوسته از پیاده روی تصادفی ساده در نظر گرفت. [50] [106] این فرآیند بهعنوان حد ریاضی سایر فرآیندهای تصادفی مانند پیادهرویهای تصادفی معینی که مجدداً مقیاسبندی شدهاند، پدید میآید، که موضوع قضیه دانسکر یا اصل ناپذیری است که به عنوان قضیه حد مرکزی تابعی نیز شناخته میشود.
فرآیند وینر عضوی از خانوادههای مهم فرآیندهای تصادفی از جمله فرآیندهای مارکوف، فرآیندهای لوی و فرآیندهای گاوسی است. جزوه فرایندهای تصادفی این فرآیند همچنین کاربردهای زیادی دارد و اصلی ترین فرآیند تصادفی مورد استفاده در حساب تصادفی است. [113] [114] این نقش مرکزی در امور مالی کمی ایفا می کند، [115] [116] جایی که برای مثال در مدل بلک-اسکولز-مرتون استفاده می شود. [117] این فرآیند همچنین در زمینه های مختلف، از جمله اکثر علوم طبیعی و همچنین برخی از شاخه های علوم اجتماعی، به عنوان یک مدل ریاضی برای پدیده های تصادفی مختلف استفاده می شود.
فرآیند پواسون
مقاله اصلی: فرآیند پواسون
فرآیند پواسون یک فرآیند تصادفی است که اشکال و تعاریف مختلفی دارد. [120] [121] می توان آن را به عنوان یک فرآیند شمارش تعریف کرد، که یک فرآیند تصادفی است که تعداد تصادفی نقاط یا رویدادها را تا مدتی نشان می دهد. تعداد نقاطی از فرآیند که در بازه زمانی صفر تا زمانی معین قرار دارند، یک متغیر تصادفی پواسون است که به آن زمان و برخی پارامترها بستگی دارد. این فرآیند دارای اعداد طبیعی به عنوان فضای حالت و اعداد غیر منفی به عنوان مجموعه شاخص خود است. این فرآیند را فرآیند شمارش پواسون نیز مینامند، زیرا میتوان آن را [120] [122] {}[125] 
[129] [130] {}[131] [23] [132] گرفته می شود، و نه در سایر فضاهای ریاضی.
تعاریف
فرآیند تصادفی
یک فرآیند تصادفی به عنوان مجموعه ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده در یک فضای احتمال مشترک تعریف می شود. {displaystyle (Omega,{mathcal {F}},P)}(Omega,{mathcal {F}},P)، جایی که{displaystyle Omega } امگایک فضای نمونه است ،{displaystyle {mathcal {F}}}{mathcal {F}}هست یک{displaystyle sigma }سیگما- جبر ، و{displaystyle P}پیک اندازه گیری احتمال است ؛ و متغیرهای تصادفی که توسط برخی از مجموعه ها نمایه شده اند{displaystyle T}تی، همه مقادیر را در یک فضای ریاضی یکسان می گیرند{displaystyle S}اس، که باید با توجه به برخی قابل اندازه گیری باشد{displaystyle
آموزش فرایندهای تصادفی
مجموعه{displaystyle T}تیمجموعه شاخص یا مجموعه پارامتر فرآیند تصادفی نامیده می شود. اغلب این مجموعه زیرمجموعه ای از خط واقعی است ، مانند اعداد طبیعی یا یک بازه، که مجموعه را نشان می دهد.{displaystyle T}تیتفسیر زمان [1] علاوه بر این مجموعه ها، مجموعه شاخص{displaystyle T}تیمی تواند مجموعه دیگری با نظم کلی یا مجموعه کلی تر باشد، [1] [55] مانند صفحه دکارتی{displaystyle R^{2}}R^{2}یا{displaystyle n}nفضای اقلیدسی بعدی، جایی که یک عنصر{displaystyle tin T}tin Tمی تواند یک نقطه در فضا را نشان دهد. [49] [138] با این حال، بسیاری از نتایج و قضایا فقط برای فرآیندهای تصادفی با یک مجموعه شاخص کاملاً مرتب ممکن است.
فضای حالت
فضای ریاضی {displaystyle S}اسیک فرآیند تصادفی فضای حالت آن نامیده می شود . این فضای ریاضی را می توان با استفاده از اعداد صحیح ، خطوط واقعی ، تعریف کرد.{displaystyle n}n- فضاهای اقلیدسی بعدی ، سطوح پیچیده یا فضاهای ریاضی انتزاعی تر. فضای حالت با استفاده از عناصری تعریف میشود که مقادیر مختلفی را که فرآیند تصادفی میتواند بگیرد، منعکس میکند.
دارای. دو فرآیند تصادفی که اصلاحات یکدیگر هستند، قانون ابعاد محدود یکسانی دارند 159 و {}
فهرست مطالب