جزوه ماشین آلات ساختمانی
نمادهای گرافیکی مورد استفاده برای –: برای هر گیت در شکل 5.1 نشان داده شدهاند. نمودارهای زمان بندی پاسخ ایده آل هر گیت ً 
-(* )
* () () () ؟
:
() * 〖()〗() * 〖()〗() 〖()〗() 〖()〗؟ ؟
* :
() /= () /= () + = * ^- + = = = ؟
* : () () ؟
:
() * 〖()〗() * 〖()〗() * 〖())〗() 〖()〗() 〖()〗: () () () () : ÷ * () () :
() () //؟
() () ؟
:
() () () () () () :
() () () () () () () () () () () () – () – () – () – () – () – () – () – * –: ++-(+).
() (+) + (+) () (+) + (-)
() (-) + (+) () (-) + (-)
++-(+) + (-)، (-) + (+) (-) + (-) 〖(+)〗() 〖(+)〗-〖()〗() :
() (+) + (+) () (+) + (-)
() (-) + (+) () (-) + (-)
:
() * () () () -() () نشان دهید.
26.1 مکمل 9 عدد دهدهی 6248 را پیدا کرده و آن را به حالت کد 2421 بیان کنید. جزوه ماشین آلات ساختمانی دهید که نتیجه، مکمل 1 پاسخ (ج) در CR_PROBlem 1.25 است. این نشان می دهد که کد 2421 خود مکمل است.
27.1 یک کد دودویی را به روشی منظم به 52 کارت بازی اختصاص دهید. از حداقل تعداد بیت استفاده کنید.
28.1 عبارت «G. Boole» در ASCII، با استفاده از یک کد هشت بیتی بنویسید. دوره و فضا را در نظر بگیرید. با بیت سمت چپ هر کاراکتر به عنوان یک بیت توازن رفتار کنید. هر کد هشت بیتی باید توازن فرد داشته باشد. (جورج بول یک ریاضیدان قرن نوزدهم بود. جبر بولی که در فصل بعدی معرفی شد، نام او را بر خود دارد.)
29.1* کد اسکی زیر را رمزگشایی کنید:
1010011 1110100 1100101 1110110 1100101 0100000 1001010 1101111 1100010 1110011
30.1 عبارت زیر، زیر رشته ای از کاراکترهای ASCII است که الگوهای بیتی آن ها برای فشردگی به هگزادسیمال تبدیل شده است: 73 F4 E5 76 E5 4A EF 62 73. از هشت بیت در هر جفت رقم، بیت سمت چپ یک بیت توازن است. بیت های باقیمانده کد اسکی هستند.
(الف) رشته را به شکل بیتی تبدیل کنید و کد ASCII را رمزگشایی کنید.
(ب) توازن مورد استفاده را تعیین کنید: فرد یا زوج؟
31.1 * چند کاراکتر چاپی در ASCII وجود دارد؟ چه تعداد از آن ها کاراکترهای خاص هستند (نه حروف یا اعداد)؟
32.1* چه بیتی باید مکمل شود تا یک حرف ASCII از بزرگ به کوچک و بالعکس تغییر کند؟
33.1* وضعیت یک ماشین آلات ساختمانی 12 بیتی 100010010111 است. محتوای آن در صورتی که نشان دهنده موارد زیر باشد چیست؟
(الف) سه رقم دهدهی در BCD؟
(ب) سه رقم دهدهی در -؟
() –؟
() ؟
- ، ً ً ∈∉: = {}*= () ∈ * ∈∉ * :
-= {⋯} + زیرا برای هر a,b ∈N، یک c ∈N منحصر به فرد وجود دارد به طوری که a + b = c. مجموعه اعداد طبیعی با توجه به عملگر دودویی – با قوانین تفریق حسابی بسته نمی شود، زیرا 2 – 3 = -1 و 2,3 ∈N ، اما -1 ∉N.
قانون شرکت پذیری. به یک عملگر دودویی * در مجموعه S گفته می شود که شرکت پذیر است هر زمان که
قانون جابه جایی. به یک عملگر دودویی * در مجموعه S ، جابه-جایی پذیرگفته می شود هر زمان که
عنصر همانی. گفته می شود که مجموعه S دارای یک عنصر همانی با توجه به یک عملیات دودویی * در S است اگر یک عنصر e ∈ S با خاصیت زیر وجود داشته باشد
مثال: عنصر 0 یک عنصر همانی با توجه به عملگر دودویی + در مجموعه اعداد صحیح I = {⋯,-3,-2,-1,0,1,2,3,⋯} است، زیرا
مجموعه اعداد طبیعی، N، در حالت جمع هیچ عنصر همانی ندارد، زیرا 0 از مجموعه حذف شده است.
وارون. به مجموعه ای از S که عنصر همانی e را نسبت به یک عملگر دودویی * دارد، وارون می گویند هرگاه برای هر x ∈ S، یک عنصر y ∈ S وجود داشته باشد به طوری که
مثال: در مجموعه اعداد صحیح، I و عملگر +، با e = 0، وارون عنصر a جزوه ماشین آلات ساختمانی با (-a) است، زیرا a + (-a) = 0 است.
قانون توزیع پذیری. اگر * و . دو عملگر دودویی در یک مجموعه S باشند، می گویند * روی . توزیع پذیر است هر زمان که
یک میدان نمونه ای از ماشین آلات ساختمانی جبری است. یک میدان مجموعه ای از عناصر به همراه دو عملگر دودویی است که هر کدام دارای ویژگی های 1 تا 5 هستند و هر دو عملگر با هم ترکیب می شوند تا خاصیت 6 را به دست آورند. مجموعه اعداد حقیقی همراه با عملگرهای دودویی + و .، میدان اعداد حقیقی را تشکیل می دهند. میدان اعداد حقیقی مبنای جبر حسابی و معمولی است. عملگرها و اصول معانی زیر را دارند:
عملگر دودویی + ، جمع را تعریف می کند.
عضو همانی جمع، 0 است. وارون جمع، تفریق را تعریف می کند.
عملگر دودویی . ، ضرب را تعریف می کند.
عضو همانی ضرب، 1 است.
برای a≠0 وارون ضرب a = 1/a تقسیم را تعریف می کند (یعنی a .1/a = 1).
تنها قانون توزیع پذیری قابل اجرا قانون توزیع . روی + است:
3.2 تعریف بدیهی جبر بول
در سال 1854، جورج بول یک سیستم جبری را ایجاد کرد که اکنون جبر بولی جزوه نظریه زبان ها و ماشین ها می شود. در سال 1938، Claude E. Shannon (شانون) جبر بولی دو ارزشی به نام جبر سوئیچینگ را معرفی کرد که نشان دهنده خصوصیات مدارهای سوئیچینگ الکتریکی دوپایا بود. برای تعریف رسمی جبر بولی، از فرضیه هایی استفاده می کنیم که توسط E.V. Huntington (هانتینگتون) در سال 1904 فرموله شده است.
جبر بولی یک ساختار جبری جزوه ماشین آلات ساختمانی که توسط مجموعه ای از عناصر B به همراه دو عملگر دودویی + و . تعریف می شود، مشروط بر این-که فرضیه های زیر (هانتینگتون) برآورده شوند:
(الف) این ساختار نسبت به عملگر + بسته است.
(ب) این ساختار با توجه به عملگر . بسته است.
الف) عنصر 0 یک عنصر همانی نسبت به + است. یعنی x + 0 = 0 + x = x.
(ب) عنصر 1 یک عنصر همانی نسبت به . است. یعنی x .1 = 1 .x = x.
(الف) این ساختار نسبت به + جابه جایی پذیر است. یعنی x + y = y + x.
(ب) این ساختار نسبت به . جابهجایی پذیر است. یعنی x .y = y .x.
(الف) عملگر . روی + توزیع پذیر است. یعنی x .(y + z) = (x .y) + (x .z).
(ب) عملگر + روی . توزیع پذیر است. یعنی x + (y .z) = (x + y).(x + z).
برای هر ∈ ‘ ∈ () () + ‘ = () ‘ = ∈ ≠()، :
() + (+ () = (+ ).(+ ) ) ()، + ً مانند a، b، c و غیره که در جبر معمولی استفاده میشوند، نمادهایی هستند که مخفف اعداد حقیقی هستند. به طور مشابه، در جبر بولی، یکی از عناصر مجموعه B را تعریف می کند و متغیرهایی مانند x، y، و z صرفاً نمادهایی هستند که عناصر را نشان می دهند. در این مرحله، درک این نکته مهم است که برای داشتن جبر بولی، باید موارد زیر را مشخص کرد
عناصر مجموعه B،
قوانین عملکرد برای دو عملگر دودویی، و
مجموعه عناصر، B، همراه با دو عملگر، باید شش فرض هانتینگتون را برآورده کند.
بسته به انتخاب عناصر B و قوانین عملکرد، می توان جبرهای بولی بسیاری را فرموله کرد. در کار بعدی ما فقط با جبر بولی دو ارزشی (یعنی جبر بولی تنها با دو عنصر) سروکار داریم. جبر بولی دو ارزشی در نظریه مجموعه ها (جبر طبقات) و در منطق گزاره ها کاربرد دارد. علاقه ما در این جا در استفاده از جبر بولی در مدارهای نوع گیت است که معمولاً در دستگاه های دیجیتال و کامپیوترها استفاده می شود.
جبر بولی دو ارزشی
یک جبر بولی دو ارزشی بر روی مجموعه ای از دو عنصر، B = {0، 1}، با قوانینی برای دو عملگر دودویی + و . همانطور که در جداول عملگر زیر نشان داده شده است، تعریف شده است (قانون عملگر مکمل برای تأیید اصل 5 است.):
این قوانین دقیقاً مشابه عملیات AND، OR و NOT هستند که در جدول 8.1 تعریف شده اند. اکنون باید نشان دهیم که فرضیه-های هانتینگتون برای مجموعه B = {0,1} و دو عملگر دودویی + و . معتبر هستند.
بسته بودن ساختار نسبت به دو عملگر از ماشین آلات ساختمانی مشخص است، زیرا نتیجه هر عملیات یا 1 یا 0 است و 1، 0 ∈ B است.
از جداول، ما می بینیم که
(الف) 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1;
(ب) = = = + () (+ ) = () + () (+ ) () + () :
() + () () + ‘ = + ‘ = +=+’ = + = () ‘ = ^’= = ^’= =